这题式子太复杂，“吓”退不少孩子！某省中考数学真题：已知m√(3−n²)+n√(3−m²)=3，求m²+n²=？

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提示一：最简方法———平方差公式（a-b)²=a²-2ab+b²！适合初中生
由2[m·√(3−n²)+n·√(3−m²)]=6
=m²+(3−n²)+n²+(3−m²)可得
[m-√(3−n²)]²+[n-√(3−m²)]²=0。
故m=√(3−n²)且n=√(3−m²)，从而m²+n²=3。

注1：提示一需极强的观察能力！


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提示二：换元+平方差公式！适合初中生
①记u=√(3−m²)，v=√(3−n²)，则mv+nu =3， u²+m²=3， v²+n²=3，从而u²+m²+v²+n² = 6。
② u²+m²+v²+n² =6=2(mv+nu)，故(u−m)² +(v−n)² =0，从而u=m且v=n，即
√(3−m²)=m且√(3−n²)=n，求得m²=n²=3/2，故m²+n²=3

注2：提示二“换元”的出发点：有理化+简化表达式，化简后比提示一更直观！

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提示三：均值不等式a²+b²≥2ab（本质上仍是完全平方差公式(a-b)²≥0等号成立当且仅当a=b）
①m√(3−n²) ≤ [ m² + (3−n²) ] /2等号成立当且仅当m = √(3−n²)。
②n√(3−m²) ≤ [ n² + (3−m²) ] / 2等号成立当且仅当n = √(3−m²)。
③3=m·√(3−n²)+n·√(3−m²)
≤[m²+3−n²+n²+3−m²] /2 =3，
也即
m·√(3−n²)+n·√(3−m²)
=[m²+3−n²+n²+3−m²] /2 ，
故 m = √(3−n²)且 n = √(3−m²)
因此m² = 3−n²即m² + n² = 3


注3：提示三更具“必然性”——指向性更强！


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提示四：三角换元+sin(α+β)=sinα cosβ + cosα sinβ！适合高中生
①令 m = √3 sinα ， n = √3 sinβ，0≤α、β≤π/2，则√(3−n²)=√3 cosβ
√(3−m²)=√3 ·cosα
②
由3=m√(3−n²)+n√(3−m²)
=√3 sinα ·√3 cosβ + √3 sinβ ·√3 cosα = 3( sinα cosβ + cosα sinβ ) 可得
sin(α+β) =1即α+β = π/2，β=π/2−α，从而n = √3 sin(π/2−α) = √3 cosα，故
m²+n² = 3 sin²α + 3 cos²α =3。

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